Pitágoras?

Quem foi?

Pitágoras foi um importante matemático e filósofo grego. Nasceu no ano de 570 a .C na ilha de Samos, na região da Ásia Menor (Magna Grécia). Provavelmente, morreu em 497 ou 496 a.C em Metaponto (região sul da Itália). Embora sua biografia seja marcada por diversas lendas e fatos não comprovados pela História, temos dados e informações importantes sobre sua vida.

Com 18 anos de idade, Pitágoras já conhecia e dominava muitos conhecimentos matemáticos e filosóficos da época. Através de estudos astronômicos, afirmava que o planeta Terra era esférico e suspenso no Espaço (ideia pouco conhecida na época). Encontrou uma certa ordem no universo, observando que as estrelas, assim como a Terra, girava ao redor do Sol

Recebeu muita influência científica e filosófica dos filósofos gregos Tales de Mileto, Anaximandro e Anaxímenes.

Enquanto visitava o Egito, impressionado com as pirâmides, desenvolveu o famoso Teorema de Pitágoras. De acordo com este teorema é possível calcular o lado de um triângulo retângulo, conhecendo os outros dois. Desta forma, ele conseguiu provar que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

Atribui-se também a ele o desenvolvimento da tábua de multiplicação, o sistema decimal e as proporções aritméticas. Sua influência nos estudos futuros da matemática foram enormes, pois foi um dos grandes construtores da base dos conhecimentos matemáticos, geométricos e filosóficos que temos atualmente.

 

Números Triangulares

Números Triangulares

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Resumão:Um número triangular é um número natural que pode ser representado na forma de triângulo equilátero. Foi desenvolvido por Gauss em 1788 quando ele tinha somente 10 anos. Para encontrar o n-ésimo número triangular a partir do anterior basta somar-lhe n unidades. Os primeiros números triangulares (sequência A000217 na OEIS) são:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...

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O matemático Karl Friedrich Gauss descobriu uma fórmula para indicar a quantidade total em cada triângulo, em que S₁ correspondia ao primeiro triângulo, S₂, ao segundo triângulo, e assim sucessivamente. As somas descritas por Gauss iniciavam com um e, a cada etapa, era adicionado um número que correspondia a uma unidade acima do último número adicionado:

S₁ = 1
​S₂ = 1 + 2 = 3
S₃ = 1 + 2 + 3 = 6
S₄ = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
S₅ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Os resultados dessas somas foram os números triangulares: 1, 3, 6, 10, 15... Observe que existe um padrão estabelecido em cada uma dessas somas. Analisando cuidadosamente, podemos observar que cada uma delas é uma progressão aritimetica  de razão 1. Então vale aqui a soma de Gauss, que estabelece que, em uma soma de razão constante, se adicionarmos o primeiro elemento ao último, obteremos o mesmo resultado de somarmos o segundo elemento ao penúltimo. Vejamos como ocorre o processo da soma de Gauss para as somas S₆ e S₇:

Processo da soma de Gauss aplicado à soma dos números triangulares

Se para S₆ e S₇ temos as somas da imagem acima, vamos reproduzir essa soma para S₈, S₉, S₁₀ e S₁₁:

S₈ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 4.9 = 36
S₉ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 4.10 + 5 = 45
S₁₀ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 5.11 = 55
S₁₁ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11= 5.12 + 6 = 66

Podemos generalizar para obter uma soma para S_n:

S_n = n. (n + 1), se n é par
2         

S_n = (n - 1).(n + 1) + (n - 1) + 1, se n é ímpar
​2                      2                    

Assim como na magia dos números, podemos mostrar outro fato interessante acerca dos números triangulares: a soma de números triangulares subsequentes resulta sempre em números que podem ser classificados como quadrados perfeitos, isto é, números que possuem raiz quadrada. Vejamos:

S₁ + S₂ = 1 + 3 = 4
​S₂ + S₃ = 3 + 6 = 9
S₃ + S₄ = 6 + 10 = 16
S₄ + S₅ = 10 + 15 = 25
S₅ + S₆ = 15 + 21 = 36
S₆ + S₇ = 21 + 28 = 49
S₇ + S₈ = 28 + 36 = 64
​S₈ + S₉ = 36 + 45 = 81
S₉ + S₁₀ = 45 + 55 = 100
S₁₀ + S₁₁ = 55 + 66 = 121

Os resultados obtidos, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 e 121, são todos quadrados perfeitos.